Геометрия икосаэдра устроена следующим образом: он состоит из двадцати равносторонних треугольников, при этом каждая его вершина принадлежит сразу пяти рёбрам. 13 Сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 градусов. 4

Для подсчёта количества рёбер, граней и вершин у икосаэдра можно применить теорему Эйлера. 1 Например, если обозначить количество граней буквой Г, то так как эти грани являются треугольниками, то получится 3Г рёбер. 1 Но при этом каждое ребро считается дважды, ведь оно принадлежит строго двум граням. 1 То есть у икосаэдра количество рёбер равно 3Г/2 = 1,5Г. 1 Также можно подсчитать вершины, находящиеся вокруг граней: на каждую грань приходится 3 вершины, но при этом каждая вершина принадлежит уже 5 граням. 1 Тогда общее количество вершин составит 3Г/5 = 0,6Г. 1

Символ Шлефли икосаэдра {3, 5} — трёхугольники, сходящиеся по пять штук в вершине, задаёт не только структуру этого многогранника, но и структуру разбиения двумерной сферы. 2