Как устроена геометрия икосаэдра и другие сложные многогранники?

Геометрия икосаэдра устроена следующим образом: он состоит из двадцати равносторонних треугольников, при этом каждая его вершина принадлежит сразу пяти рёбрам. 100urokov.ru resh.edu.ru Сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 градусов. school98.centerstart.ru

Для подсчёта количества рёбер, граней и вершин у икосаэдра можно применить теорему Эйлера. 100urokov.ru Например, если обозначить количество граней буквой Г, то так как эти грани являются треугольниками, то получится 3Г рёбер. 100urokov.ru Но при этом каждое ребро считается дважды, ведь оно принадлежит строго двум граням. 100urokov.ru То есть у икосаэдра количество рёбер равно 3Г/2 = 1,5Г. 100urokov.ru Также можно подсчитать вершины, находящиеся вокруг граней: на каждую грань приходится 3 вершины, но при этом каждая вершина принадлежит уже 5 граням. 100urokov.ru Тогда общее количество вершин составит 3Г/5 = 0,6Г. 100urokov.ru

Символ Шлефли икосаэдра {3, 5} — трёхугольники, сходящиеся по пять штук в вершине, задаёт не только структуру этого многогранника, но и структуру разбиения двумерной сферы. habr.com