Теорема Пуанкаре, сформулированная в 1904 году, способствовала значительному прогрессу в области геометрической топологии в течение XX века. 4

Некоторые аспекты влияния теоремы Пуанкаре на развитие теории многообразий:

• Обобщение формулы Л. Эйлера. 1 Пуанкаре доказал формулу, связывающую число вершин, рёбер и граней многогранника в многомерном пространстве. 1 Это стало важным результатом топологической науки. 1
• Обобщение коэффициента зацепления Гаусса. 1 Пуанкаре перенёс это понятие на n-мерные многообразия и обобщил его на случай произвольной размерности. 1
• Введение фундаментальной группы. 4 Пуанкаре представил её как новый топологический инвариант и смог продемонстрировать примеры трёхмерных многообразий, которые имеют одинаковые числа Бетти, но разные фундаментальные группы. 4
• Доказательство гипотезы Пуанкаре. 25 Гипотеза была доказана Григорием Перельманом в серии статей 2002–2003 годов. 5 После подтверждения доказательства математическим сообществом в 2006 году гипотеза Пуанкаре стала первой и единственной решённой задачей тысячелетия. 5