Как теорема о вложенных отрезках связана с полнотой поля вещественных чисел?

Теорема о вложенных отрезках тесно связана с непрерывностью (полнотой) поля вещественных чисел. 23

Доказательство леммы существенно опиралось на аксиому непрерывности. 2 Если упорядоченное поле не является непрерывным, то принцип вложенных отрезков может не иметь места. 2 Например, в поле рациональных чисел, которое не является непрерывным, у последовательности вложенных отрезков может не быть общей точки. 25

Более того, можно показать, что принцип вложенных отрезков является одной из эквивалентных формулировок непрерывности поля. 5 Например, для всякого архимедова упорядоченного поля из принципа вложенных отрезков вытекает непрерывность этого поля. 3