Теорема о сумме степеней вершин помогает анализировать свойства графов, в частности, позволяет:

• Доказывать, что два графа не являются одинаковыми, подсчитывая степени вершин. 2 Например, два графа с одинаковым количеством вершин и рёбер, но с разной степенью вершин не являются одинаковыми. 2
• Выводить, что в любом графе число вершин нечётной степени чётно. 35 Это утверждение известно как лемма о рукопожатиях. 5
• Устанавливать, что любая последовательность с нечётной суммой не может быть последовательностью степеней графа. 5 Обратное также верно: если последовательность имеет чётную сумму, она представляет собой последовательность степеней мультиграфа. 5
• Устанавливать, что во всяком графе с определённым количеством вершин (больше или равно 2) всегда найдутся две или более вершины с одинаковыми степенями. 3

Теорема о сумме степеней вершин гласит, что сумма степеней вершин графа равна удвоенному числу его рёбер. 14 При подсчёте суммы степеней вершин каждое ребро учитывается два раза: для одного конца ребра и для другого. 3