Как теорема Менелая и Чевы применяется в практических задачах на соотношение сторон треугольника?

Теорема Менелая применяется в практических задачах на соотношение сторон треугольника, когда в условии идёт речь об отношении отрезков (например, требуется доказать равенство отрезков, что точка является серединой отрезка) и на чертеже имеются элементы, присутствующие в теореме Менелая (треугольник и прямая, пересекающая его стороны или их продолжения). {6-host}

Пример применения: в треугольнике ABC проведена прямая, параллельная АС. xn--j1ahfl.xn--p1ai Эта прямая пересекает сторону АВ в точке Р, медиану АМ — в точке Т, а сторону BС в точке К. xn--j1ahfl.xn--p1ai Найти длину АС, если РТ=3, ТК=5. xn--j1ahfl.xn--p1ai Решение: по теореме Менелая для треугольника PKB и прямой AM находим соотношение. xn--j1ahfl.xn--p1ai Затем из подобия треугольников ABC и PBК следует, что PK≼AC, тогда из теоремы Менелая для треугольника PKB и прямой AM следует, что AC=11/8PK=11. xn--j1ahfl.xn--p1ai

Теорема Чевы применяется в задачах, в условиях которых сказано о пресекающихся чевианах треугольника. gallery.ddt-chkalov.ru Особенно полезно применять теорему при нахождении соотношений отрезков сторон треугольника, образованных пересечением чевиан. gallery.ddt-chkalov.ru

Пример применения: в треугольнике ABC биссектриса AD делит сторону ВС в отношении 2:1. {8-host} В каком отношении медиана СЕ делит эту биссектрису (СЕ и AD пересекаются в точке О)? {8-host} Для треугольника DAB применим теорему Менелая. {8-host} Ответ: 3 : 1. {8-host}