Как теорема Коши о вычетах применяется в теории функций комплексного переменного?

Теорема о вычетах в комплексном анализе предоставляет метод для оценки комплексных интегралов. www.buddymath.com Она связывает интеграл функции вокруг замкнутого контура с суммой вычетов в пределах этого контура. www.buddymath.com

Некоторые области применения теоремы о вычетах:

• Обратное преобразование Лапласа. www.buddymath.com Используется в дифференциальных уравнениях и электротехнике. www.buddymath.com
• Динамика жидкостей. www.buddymath.com Помогает в решении сложных интегралов, возникающих в задачах о движении жидкостей. www.buddymath.com
• Квантовая физика. www.buddymath.com Применяется в формулировке по траекториям и в расчёте пропагаторов. www.buddymath.com

Чтобы оценить действительные интегралы, теорема о вычетах используется так: en.wikipedia.org

1. Подынтегральное выражение расширяется до комплексной плоскости и вычисляются его остатки. en.wikipedia.org
2. Часть действительной оси расширяется до замкнутой кривой путём присоединения полукруга в верхней или нижней полуплоскости, образуя полукруг. en.wikipedia.org
3. Затем интеграл по этой кривой вычисляется с помощью теоремы о вычетах. en.wikipedia.org Часто полукруглая часть интеграла будет стремиться к нулю по мере увеличения радиуса полукруга, оставляя только часть интеграла с действительной осью, ту, которая изначально интересовала. en.wikipedia.org