Как теорема Арцела применяется в функциональном анализе?

Теорема Арцела применяется в функциональном анализе как критерий предкомпактности семейства непрерывных функций, заданных на компакте и действующих в полное метрическое пространство. ru.ruwiki.ru ru.wikipedia.org

С помощью этой теоремы исследуют вопрос о том, можно ли выделить из семейства непрерывных функций сходящуюся подпоследовательность. ru.ruwiki.ru ru.wikipedia.org

Применение теоремы Арцела связано со специальными свойствами рассматриваемых семейств, а именно: с равномерной ограниченностью и равностепенной непрерывностью. ru.ruwiki.ru ru.wikipedia.org

Таким образом, теорема Арцела помогает ответить на вопрос о полноте семейств непрерывных функций и свойствах пределов, которые возникают, например, у последовательности непрерывных числовых функций, заданных на отрезке. ru.ruwiki.ru ru.wikipedia.org