Совершенные числа и простые числа Мерсенна связаны взаимно однозначно. 1 Каждое простое число Мерсенна порождает одно чётное совершенное число, и наоборот. 12

Это утверждение доказано теоремой Евклида–Эйлера в теории чисел. 1 Она гласит, что чётное число является совершенным тогда и только тогда, когда оно имеет вид 2p−1 (2p − 1), где 2p − 1 — простое число. 1

Пример: совершенное число 6 получается из p = 2 таким образом, как 22−1M2 = 2 × 3 = 6, а простое число Мерсенна 7 таким же образом соответствует совершенному числу 28. 1