Как связаны ортоцентр и точка Лемуана с геометрическими свойствами треугольника?

Ортоцентр и точка Лемуана связаны с геометрическими свойствами треугольника, и у каждой из точек есть свои особенности.

Ортоцентр — точка пересечения высот треугольника или их продолжений. nsportal.ru В зависимости от вида треугольника ортоцентр может находиться внутри него (в остроугольном), вне его (в тупоугольном) или совпадать с вершиной (в прямоугольном — совпадает с вершиной при прямом угле). nsportal.ru Некоторые свойства ортоцентра и их связь с геометрическими свойствами треугольника:

• Ортоцентрический треугольник. dzen.ru Если соединить основания высот треугольника, то получится новый треугольник, называемый ортоцентрическим. dzen.ru Ортоцентр исходного треугольника является инцентром (центром вписанной окружности) ортоцентрического треугольника. dzen.ru
• Связь с описанной окружностью. dzen.ru Ортоцентр, центр описанной окружности и центроид треугольника лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера. dzen.ru При этом центроид делит отрезок между ортоцентром и центром описанной окружности в отношении 2:1. dzen.ru
• Симметрия относительно сторон. dzen.ru Если отразить ортоцентр относительно каждой из сторон треугольника, то полученные точки будут лежать на описанной окружности треугольника. dzen.ru
• Подобие треугольников. dzen.ru Если из ортоцентра опустить перпендикуляры на стороны треугольника, то образуются три пары подобных треугольников. dzen.ru
• Ортоцентр и площадь треугольника. dzen.ru Существуют формулы, связывающие расстояние от ортоцентра до вершин и сторон треугольника с его площадью. dzen.ru

Точка Лемуана — точка пересечения симедиан. nsportal.ru С ней связано несколько свойств, например:

• Сумма квадратов расстояний от точки на плоскости до сторон треугольника минимальна, когда эта точка является точкой Лемуана. ru.wikipedia.org nsportal.ru
• Расстояния от точки Лемуана до сторон треугольника пропорциональны длинам сторон. ru.wikipedia.org nsportal.ru
• Точка Лемуана является точкой пересечения медиан треугольника, образованного проекциями точки Лемуана на стороны. ru.wikipedia.org ru.ruwiki.ru
• Точка Лемуана является точкой Жергонна треугольника, образованного касательными к описанной окружности в вершинах треугольника. ru.wikipedia.org ru.ruwiki.ru
• Если провести через точку Лемуана отрезки, параллельные сторонам треугольника, с концами на сторонах, то концы этих отрезков будут лежать на одной окружности. nsportal.ru