Как связаны обыкновенные дроби с фундаментальными математическими константами, такими как число пи?

Обыкновенные дроби и фундаментальные математические константы, такие как число пи, связаны через процесс приближения.

Число пи — иррациональное число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби. 1 Однако существует множество дробей, которые приближаются к числу пи с возрастающей точностью. 2

Например, Архимед предложил дробь 22/7 как приближённое значение числа пи. 3 Клавдий Птолемей получил дробь 377/120, которая давала более точное приближение и использовалась в астрономических расчётах. 3 Цзу Чунчжи предложил дробь 355/113, которая считается одним из лучших однозначных рациональных приближений числа пи. 3

Математик Петер Густав Лежён Дирихле доказал, что для любого иррационального числа существует бесконечно много дробей, приближающихся к нему. 2 При этом ошибка каждой дроби будет не больше, чем 1, делённая на квадрат знаменателя. 2