Матрица линейного оператора и его свойства связаны тем, что матрица полностью характеризует линейный оператор. 2

Матрица линейного оператора представляет собой таблицу, в которой i-тый столбец — это столбец координат в другом базисе образа i-того базисного вектора первого базиса. 1 Таким образом, по матрице можно определить, как линейный оператор действует на базисные векторы пространства и, следовательно, узнать о его свойствах. 4

Например, из свойств операций над матрицами следует, что линейный оператор с определённой матрицей обладает такими свойствами, как A(X+Y) = AX + AY и A(λX) = λАХ. 5 Отображения с такими свойствами называются линейными. 5

Таким образом, свойства линейного оператора можно изучить по его матрице, которая даёт полную информацию о нём.