Как связана выпуклость функции с ее поведением на интервалах?

Выпуклость функции на интервале связана с расположением её графика относительно касательной в любой точке этого интервала: 13

• Выпуклость вниз: функция является выпуклой вниз на интервале, если её график располагается не ниже касательной к нему в любой точке этого интервала. 1
• Выпуклость вверх: функция является выпуклой вверх на интервале, если её график располагается не выше касательной к нему в любой точке этого интервала. 1

Также существует связь между направлением выпуклости и значением второй производной на определённом интервале: 1

• Если вторая производная функции положительна во всех точках интервала, то функция строго выпукла вверх на этом интервале. 5
• Если вторая производная функции отрицательна во всех точках интервала, то функция строго выпукла вниз на этом интервале. 5

При этом условие постоянства знака второй производной не является необходимым: на интервалах строгой выпуклости вверх или вниз вторая производная может обращаться в нуль. 5