Как связана выпуклость функции с ее поведением на интервалах?

Выпуклость функции на интервале связана с расположением её графика относительно касательной в любой точке этого интервала: zaochnik-com.com ru.wikipedia.org

• Выпуклость вниз: функция является выпуклой вниз на интервале, если её график располагается не ниже касательной к нему в любой точке этого интервала. zaochnik-com.com
• Выпуклость вверх: функция является выпуклой вверх на интервале, если её график располагается не выше касательной к нему в любой точке этого интервала. zaochnik-com.com

Также существует связь между направлением выпуклости и значением второй производной на определённом интервале: zaochnik-com.com

• Если вторая производная функции положительна во всех точках интервала, то функция строго выпукла вверх на этом интервале. nuclphys.sinp.msu.ru
• Если вторая производная функции отрицательна во всех точках интервала, то функция строго выпукла вниз на этом интервале. nuclphys.sinp.msu.ru

При этом условие постоянства знака второй производной не является необходимым: на интервалах строгой выпуклости вверх или вниз вторая производная может обращаться в нуль. nuclphys.sinp.msu.ru