Непрерывность функции связана с её монотонностью на отрезке следующим образом: монотонная функция может быть непрерывной на отрезке, только если область её значений ограничена. 1

Также существует критерий непрерывности монотонной функции на отрезке: если функция определена и монотонна на отрезке [a;b], то для непрерывности её на этом отрезке необходимо и достаточно, чтобы для любого числа m из отрезка [f(a);f(b)] нашлась точка x0 на отрезке [a;b], такая, что f(x0) = m. 3

Однако стоит отметить, что обратная непрерывная функция не обязательно непрерывна, даже если она монотонна, а диапазон представляет собой интервал. 4