Как сумма углов треугольника связана с параллельным постулатом Евклида?

Сумма углов треугольника и параллельный постулат Евклида связаны тем, что в евклидовой геометрии постулат треугольника (о том, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам) эквивалентен параллельному постулату. 1

Это следует из того, что доказательство теоремы о сумме углов треугольника основывается на том, что при пересечении двух параллельных прямых третьей внутренние накрест лежащие и соответственные углы равны. 2 Это предложение, в свою очередь, доказывается при помощи аксиомы параллельности Евклида (пятого постулата Евклида). 23

Верно и обратное утверждение: если сумма углов треугольника равна 180°, тогда выполняется и пятый постулат. 5