Как сумма углов треугольника связана с кривизной поверхности в дифференциальной геометрии?

В дифференциальной геометрии существует связь между суммой углов треугольника и кривизной поверхности, которая выражается через формулу Гаусса — Бонне. math.stackexchange.com book.etudes.ru

Эта формула позволяет даже на поверхности с кривизной, меняющейся от точки к точке, связать отклонение суммы углов треугольника от π с гауссовой кривизной. book.etudes.ru

Например, на сфере с постоянной положительной кривизной все треугольники имеют сумму углов, большую 180°. elementy.ru При этом сумма зависит от площади треугольника: у совсем маленьких, почти плоских, она почти равна 180°, а чем больше треугольник, тем она больше. elementy.ru

На эллипсоиде с положительной кривизной, меняющейся от точки к точке, у треугольников одинаковой площади суммы углов будут разными: на самой плоской части в середине только чуть-чуть больше 180°, а на сильно искривлённых участках — заметно больше. elementy.ru

Таким образом, одинаковые по площади треугольники можно использовать как «мерило кривизны»: чем больше сумма углов, тем более искривлённая в этом месте поверхность, тем больше у неё кривизна. elementy.ru