Как, строго математически, доказать закон Архимеда о выталкивающей силе, с нахождением точки приложения результирующей силы?

Закон Архимеда о выталкивающей силе можно строго математически доказать, рассмотрев силы давления на поверхность тела, погружённого в жидкость. 1 Например, если тело имеет форму прямого параллелепипеда и расположено так, что две его противолежащие грани горизонтальны. 1 Площадь его основания обозначим через , высоту — через , а расстояние от поверхности до верхней грани — через. 1

Равнодействующая сил давления жидкости составляется из сил давления на боковую поверхность параллелепипеда и на его основания. 1 Силы, действующие на боковые грани, взаимно уничтожаются, так как для противолежащих граней силы давления равны по модулю и противоположны по направлению. 1 Давление на верхнее основание равно , на нижнее основание — . Следовательно, силы давления на верхнее и на нижнее основания равны соответственно , причём сила направлена вниз, а сила — вверх. 1 Таким образом, равнодействующая всех сил давления на поверхность параллелепипеда (выталкивающая сила) равна разности модулей сил и направлена вертикально вверх. 1

Точка приложения выталкивающей силы должна быть центром тяжести выделенного объёма. 1 В противном случае равновесие нарушилось бы, так как сила тяжести и выталкивающая сила образовали бы пару сил. 1

Также закон Архимеда можно вывести из закона сохранения энергии. 4 Работа силы, действующей со стороны погружённого тела на жидкость, приводит к изменению её потенциальной энергии. 4