В современном русском языке сочетание «будь то» используется как союз, который употребляется перед перечислением в значении «неважно, что именно». 1

Примеры использования:

• «В подобных чрезвычайных случаях, будь то в бою или в затишье, политработник вправе и обязан приказывать». 1
• «Каждое государство, будь то республика или наследственная монархия, имеет свой государственный герб». 1
• «Меня вполне устроят любые осенние цветы — будь то астры, хризантемы или георгины». 3
• «Татьяна согласна на любые условия работы — будь то первая или вторая смена». 3
• «Мы обязательно завтра пойдём в лес за грибами — будь то хорошая погода или плохая». 3

Сочетание «будь то» всегда пишется раздельно: это две самостоятельные части речи: глагол «будь» и частица «то». 3