Скалярное произведение применяется в теории многомерных пространств для определения длины векторов и угла между ними. 15

В современной математике используется обратный подход: аксиоматически определяется скалярное произведение, а уже через него — длины и углы. 1

Также скалярное произведение векторов в многомерном пространстве определяется как сумма произведений их компонентов. 2

Кроме того, принцип ортогональности, основанный на использовании скалярного произведения векторов, применяется при выборе базиса в пространствах и других размерностей. 3 Это упрощает ряд зависимостей и вычислений. 3

Ещё скалярное произведение и его обобщения играют большую роль в векторной алгебре, теории многообразий, механике и физике. 1 Например, работа силы при механическом перемещении равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения. 1