Скалярное и векторное произведения используются в трёхмерной геометрии для подсчёта различных величин, связанных с углами между векторами. 5

Скалярное произведение помогает определить угол между векторами, вычислить длину проекции одного вектора на другой и решить множество задач, связанных с векторами. 2 Например, с его помощью можно проверять ортогональность векторов: если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то они перпендикулярны друг другу. 2

Векторное произведение имеет геометрический смысл: его длина равна площади параллелограмма, построенного на двух векторах, и перпендикулярного к плоскости этих векторов. 3 Векторное произведение полезно для «измерения» перпендикулярности векторов: модуль векторного произведения двух векторов равен произведению их модулей, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы параллельны либо антипараллельны. 4

Также с помощью векторного и скалярного произведений можно вычислить объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах. 14

Таким образом, скалярное и векторное произведения играют важную роль в решении задач, связанных с векторами в трёхмерном пространстве.