С помощью производных можно анализировать рост и спад функций в реальном времени, определяя мгновенную скорость изменения функции в заданной точке. 1

Для возрастающей функции производная всегда положительна: f′(x) > 0. 1 Это означает, что у касательной к графику функции положительный наклон, а график функции направлен вверх. 1

Для убывающей функции производная всегда отрицательна: f′(x) < 0. 1 В этом случае наклон касательной отрицательный, а график функции направлен вниз. 1

В точке экстремума производная функции равна нулю: f′(x) = 0. 1 Это означает, что в точке локального максимума функция меняет направление с возрастающей на убывающую, а в точке локального минимума — с убывающей на возрастающую. 1

Анализ производной функции помогает понять её поведение. 1 Например, если рассматривать движение велосипеда по холмистой местности, то на участке подъёма в гору производная положительна — функция возрастает, а на участке спуска с горы — отрицательна, функция убывает. 1

Производные широко применяются в различных областях, где нужно описывать, как быстро изменяется та или иная величина во времени или в зависимости от иных параметров. 13