Для решения задачи о минимальном количестве рёбер, которые необходимо пройти дважды для обхода всех рёбер многогранника, можно использовать теорему о существовании эйлерова цикла. 4

Согласно этой теореме, число рёбер, которые нужно пройти дважды, равно половине числа вершин с нечётной степенью. 4

Например, в задаче о додекаэдре, где все вершины имеют степень 3 (нечётное число), по теореме нужно пройти дважды 10 рёбер (20 / 2). 4

Решение: 3

1. При обходе необходимо выйти из начальной вершины, войти и выйти изо всех остальных вершин, кроме конечной, затем войти в конечную вершину. 3
2. Следовательно, каждая из 18 промежуточных вершин додекаэдра должна быть пройдена чётное число раз. 3
3. В вершинах сходятся по три ребра, поэтому понадобится один дополнительный выход, а всего их должно быть не менее 18. 3
4. Каждой паре выход-вход соответствует одно ребро, а потому необходимо не менее девяти проходов по рёбрам. 3