Возможно, имелась в виду задача, в которой нужно найти число, дающее одинаковый остаток при делении на 6 и 11. 12

Один из способов решения: 2

1. Если натуральное число n при делении на 6 и 11 даёт один и тот же ненулевой остаток r, то его можно представить в виде: n = 6p + r; n = 11q + r, где p, q = 0; 1; 2; …, r = 1; 2; 3; 4; 5. 2
2. Из уравнений следует, что разность n - r делится на 66, значит, её можно представить в виде: n - r = 66k, отсюда получим: n = 66k + r, k = 0; 1; 2; …. 2
3. Простыми вычислениями найти искомое число. 2

Пример решения: 1

Нужно найти наименьшее трёхзначное натуральное число, которое при делении на 6 и на 11 даёт равные ненулевые остатки и у которого средняя цифра является средним арифметическим двух крайних цифр. 1

Решение: 1

1. По модулю 6 и 11 число имеет одинаковые остатки, следовательно, число имеет тот же остаток при делении на 66, причём этот остаток не равен нулю и меньше шести. 1
2. Искомое число может иметь вид: 66n + 1, 66n + 2, 66n + 3, 66_4, 66n + 5. 1
3. При n = 1 получаем: 67, 68, 69, 70, 71. 1 Все эти числа не являются трёхзначными. 1
4. При n = 2 получаем: 133, 134, 135, 136, 137. 1 Число 135 удовлетворяет всем условиям задачи. 1

Ответ: 135. 1