Алгоритм решения тригонометрического уравнения с помощью разложения на множители: 4

1. Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических функций. 4
2. Вынести за скобки общий множитель (разложить на множители). 4
3. Решить итоговое уравнение. 4

Метод основан на утверждении, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом имеют смысл. 2

Для разложения левой части тригонометрического уравнения на множители используют не только известные из курса алгебры приёмы, но и различные тригонометрические формулы. 2

Пример решения: sin3x+sin7x=2sin5x. 4

Решение: 4

1. Применим формулу суммы синусов: 2sin5xcos2x=2sin5x. 4
2. Вычтем 2sin5x из обеих частей: 2sin5xcos2x-2sin5x=0. 4
3. Вынесем 2sin5x за скобки: 2sin5x(cos2x-1)=0. 4
4. Получилась совокупность из двух уравнений, которые нужно решить по отдельности: 4

• 2sin5x=0, x=n5, nZ. 4
• cos2x-1=0, x=n, nZ. 4

Ответ: x=n5, nZ. 4