Как решить тригонометрическое уравнение с помощью разложения на множители?

Алгоритм решения тригонометрического уравнения с помощью разложения на множители: webium.ru

1. Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических функций. webium.ru
2. Вынести за скобки общий множитель (разложить на множители). webium.ru
3. Решить итоговое уравнение. webium.ru

Метод основан на утверждении, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом имеют смысл. foxford.ru

Для разложения левой части тригонометрического уравнения на множители используют не только известные из курса алгебры приёмы, но и различные тригонометрические формулы. foxford.ru

Пример решения: sin3x+sin7x=2sin5x. webium.ru

Решение: webium.ru

1. Применим формулу суммы синусов: 2sin5xcos2x=2sin5x. webium.ru
2. Вычтем 2sin5x из обеих частей: 2sin5xcos2x-2sin5x=0. webium.ru
3. Вынесем 2sin5x за скобки: 2sin5x(cos2x-1)=0. webium.ru
4. Получилась совокупность из двух уравнений, которые нужно решить по отдельности: webium.ru

• 2sin5x=0, x=n5, nZ. webium.ru
• cos2x-1=0, x=n, nZ. webium.ru

Ответ: x=n5, nZ. webium.ru