Алгоритм решения тригонометрических уравнений: 4

1. Анализ уравнения. 4 Нужно понять структуру уравнения и выявить все тригонометрические функции, которые оно содержит. 4
2. Применение тождеств. 4 Основное тригонометрическое тождество используют для упрощения уравнения, например, для преобразования сложных выражений в более простые. 4
3. Приведение к стандартному виду. 4 Уравнение стараются привести к форме, удобной для дальнейшего решения, например, к простейшим тригонометрическим уравнениям. 4
4. Решение уравнения. 4 Для нахождения решений применяют соответствующие методы, среди которых замена переменной, разложение на множители, приведение к однородному уравнению и другие. 4
5. Проверка решений. 4 Нужно убедиться, что найденные решения удовлетворяют исходному уравнению, и исключить возможные посторонние корни. 4
6. Запись решений. 4 Решения представляют в удобной форме, учитывая периодичность тригонометрических функций. 4

Пример решения тригонометрического уравнения с использованием основного тригонометрического тождества: 2

Дано уравнение 2cos²(x) + sin(x) + 1 = 0. 2 В нём есть две тригонометрические функции: синус и косинус. 2 Нужно сделать так, чтобы осталась только одна из них. 2 Для этого используют основное тригонометрическое тождество: sin²(x) + cos²(x) = 1. 2 Из него выражают cos²(x) = 1 – sin²(x) и подставляют в исходное уравнение: 2

2(1 – sin²(x)) + sin(x) + 1 = 0. 2

Приводят подобные слагаемые: -2sin²(x) + sin(x) + 3 = 0. 2 Теперь в уравнении везде sin(x), можно сделать замену: t = sin(x). 2 Уравнение принимает вид: -2t² + t + 3 = 0. 2 Находят корни квадратного уравнения. 2

Для решения тригонометрических уравнений также используют графический метод, который включает построение графиков тригонометрических функций и нахождение точек пересечения. 4