Чтобы решить дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний математического и пружинного маятника, можно следовать следующим шагам:

1. Для пружинного маятника: 2

• В идеализированной модели предполагается, что кроме силы упругости на груз в горизонтальном направлении никакие силы больше не действуют. 2
• Согласно второму закону Ньютона, сила упругости, действующая на груз, максимальна и направлена к положению равновесия. 2
• С учётом закона Гука и определения мгновенного ускорения, в проекциях на ось х можно записать: 2 -kx = m&x&. 2 Или m&x& + kx = 0. 2
• Поделив обе части уравнения на массу, получим &x& + kx = 0/m. 2
• Введём обозначение km = w02, запишем дифференциальное уравнение в окончательном виде. 2
• Решение дифференциального уравнения: 2 x = Acos(w0t + j0), где x — значение колеблющейся величины (например, координаты груза пружинного маятника), t — время. 2

Для математического маятника: 4

• Отклонение маятника от положения равновесия характеризуют углом φ, образованным нитью с вертикалью. 4
• При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент, равный по величине mqlsinφ. 4 Он имеет такое же направление, что стремится вернуть маятник в положение равновесия. 4

Точные формулы и шаги решения могут отличаться в зависимости от конкретных условий задачи.