Как решаются задачи с биссектрисой и медианой в прямоугольном треугольнике?

При решении задач с биссектрисой и медианой в прямоугольном треугольнике используют свойства прямоугольного треугольника. www.bolshoyvopros.ru

Некоторые из них:

• Свойство медианы: медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. otvet.mail.ru www.bolshoyvopros.ru
• Свойство биссектрисы: биссектриса делит прямой угол пополам. www.bolshoyvopros.ru
• Свойство равнобедренного треугольника: углы при основании равнобедренного треугольника равны. www.bolshoyvopros.ru ege.sdamgia.ru

Пример решения задачи: угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14°. www.bolshoyvopros.ru ege.sdamgia.ru Нужно найти меньший угол этого треугольника. www.bolshoyvopros.ru ege.sdamgia.ru

Решение: www.bolshoyvopros.ru

1. Визуально понятно, что наименьший угол прямоугольного треугольника расположен напротив меньшего катета. www.bolshoyvopros.ru Значит, наименьший угол — угол А. www.bolshoyvopros.ru
2. Так как СД — биссектриса, она делит прямой угол пополам, и угол ДСА равен 45°. www.bolshoyvopros.ru
3. Можно узнать угол МСА как разницу углов ДСА и ДСМ: 45° − 14° = 31°. www.bolshoyvopros.ru
4. По свойству медианы, отрезки АМ и МС равные, значит, треугольник АМС — равнобедренный с основанием АС. www.bolshoyvopros.ru
5. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны, поэтому угол МСА, который равен 31°, равен искомому углу САВ. www.bolshoyvopros.ru

Ответ: наименьший угол прямоугольного треугольника АВС равен 31°. www.bolshoyvopros.ru