Для решения задач на тему бесконечного множества простых чисел используют метод доказательства от противного. 2

Пример доказательства: 3

1. Предположим, что количество простых чисел конечно. 3
2. Перемножим все простые числа и прибавим единицу. 34
3. Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. 3
4. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор. 3

Ещё одно доказательство (приведённое Эйлером) показывает, что сумма всех чисел, обратных к простым, расходится. 3

Также существует доказательство, в котором показывают, что какой бы исходный список простых чисел не взяли, всегда найдётся новое простое число. 4 Им окажется либо само произведение + 1, либо простое число, которое больше исходных сомножителей, если они были взяты подряд от самого наименьшего простого числа. 4