Для решения задач на пересечение в многомерных пространствах используют различные методы, в зависимости от конкретной задачи и её условий.
Для нахождения пересечения плоскостей в многомерном пространстве применяют решение системы линейных уравнений. ru.wikipedia.org В общем случае пересечение определяется системой нелинейных уравнений, которую можно решить численно, например, с использованием метода Ньютона. ru.wikipedia.org
Для поиска пересечения треугольников в трёхмерном пространстве рассматривают несколько ситуаций: github.com
- Треугольники лежат в параллельных плоскостях. github.com Если плоскости параллельны, то треугольники не пересекаются. github.com Если плоскости совпадают, то проверяют каждый отрезок одного треугольника на пересечение с каждым отрезком другого треугольника. github.com Если отрезки не пересекаются, то проверяют, не лежит ли один треугольник внутри другого. github.com Если и этот вариант не проходит, то пересечения нет. github.com
- Точки одного треугольника лежат по одну сторону от плоскости другого треугольника. github.com В этом случае находят расстояние от точек одного треугольника до плоскости другого. github.com Если все расстояния имеют один знак и не равны нулю, то треугольники не пересекаются. github.com
- Пересечение треугольников по линии пересечения их плоскостей. github.com В этом случае находят прямую пересечения, затем на этой прямой находят отрезки, по которым треугольники пересекают плоскость. github.com Если отрезки каким-либо образом перекрывают друг друга, то пересечение есть, иначе — нет. github.com
Для ускорения поиска пересекающихся треугольников в задачах с большим их количеством используют октодерево. github.com Пространство разбивают на подпространства и ищут пересечения треугольников внутри этих подпространств. github.com Треугольники из одного подпространства не могут пересекаться с треугольниками из другого, поэтому их не проверяют, что ускоряет работу алгоритма. github.com