Метод замены переменной в решении тригонометрических уравнений заключается во введении новой переменной для упрощения уравнения. 1 Например, заменяя sin (x) или cos (x) на t, можно превратить тригонометрическое уравнение в алгебраическое, которое легче решается. 1

Алгоритм решения: 2

1. Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических функций. 2
2. Обозначить полученную функцию переменной t (если необходимо, ввести ограничения на t). 2
3. Записать и решить полученное алгебраическое уравнение. 2
4. Сделать обратную замену. 2
5. Решить простейшее тригонометрическое уравнение. 2

Пример решения: 2

Нужно решить уравнение 2cos2x + 5sinx = 5. 2

Решение: 2

1. Преобразуем уравнение, применив основное тригонометрическое тождество: 2(1 − sin2 x) + 5 sin x = 5, 2 sin2 x − 5 sin x + 3 = 0. 5
2. Заменяем sin x на t, приходим к квадратному уравнению: 2t2 − 5t + 3 = 0. 5
3. Решаем его, получаем: t1 = 3/2, t2 = 1. 5
4. Первый корень приводит к уравнению sin x = 3, оно не имеет решений, поскольку −1 sin x < 1. 5
5. Второй корень даёт простейшее уравнение sin x = 1, решаем его: x = π/2 + 2πn, n ∈ Z. 5