Чтобы решать задачи на периодичность тригонометрических функций, нужно знать свойства периодических функций и их наименьшие положительные периоды. 35

Функция называется периодической, если её значения не меняются при изменении аргумента на определённое число. 5 Как правило, в задачах рассматривают наименьший положительный период функции. 3

Некоторые свойства периодических тригонометрических функций:

• Для функций y = sin x и y = cos x наименьший положительный период равен 2π. 35
• Для функций tg x и y = ctg x наименьший положительный период равен π. 3

Чтобы найти период синусоидальной или косинусоидальной функции, нужно выполнить следующие шаги: 2

1. Найти коэффициент B в функции синуса или косинуса. 2 Другие коэффициенты не повлияют на период функции, поэтому ими можно пренебречь. 2
2. Вставить значение B в формулу: период = 2π / |B|. 2

Если период функции y = f(x) равен T1, а период функции y = g(x) равен T2, то период функций y = f(x) + g(x) и y = f(x) – g(x) равен наименьшему числу, при делении которого на T1 и T2 получаются целые числа. 1

Некоторые примеры решения задач на периодичность тригонометрических функций:

• Доказать утверждение: tg 3850° = tg 250°. 14 Так как тангенс — периодическая функция с минимальным периодом 20 ∙ 180°, то tg 3850° = tg (20 ∙ 180° + 250°) = tg 250°. 1
• Доказать утверждение: сos (–13π) = –1. 14 Так как косинус — чётная и периодическая функция с минимальным периодом 2π, то сos (–13π) = сos 13π = сos (π + 6 ∙ 2π) = сos π = –1. 1
• Доказать утверждение: sin (–7210°) = – sin 10°. 14 Так как синус — нечётная и периодическая функция с минимальным периодом 20 ∙ 360°, то sin (–7210°) = – sin 7210° = –sin (20 ∙ 360° + 10°) = – sin 10°. 1