Как решать задачи на делимость чисел методом математической индукции?

Решение задач на делимость чисел методом математической индукции состоит из четырёх этапов: infourok.ru moluch.ru

1. Базис индукции. infourok.ru moluch.ru Проверяется справедливость утверждения для наименьшего из натуральных чисел, при котором утверждение имеет смысл. infourok.ru
2. Индукционное предположение. infourok.ru moluch.ru Предполагаётся, что утверждение верно для некоторого значения k. infourok.ru
3. Индукционный переход. infourok.ru moluch.ru Доказывается, что утверждение справедливо для k+1. infourok.ru
4. Вывод. infourok.ru moluch.ru Если доказательство удалось довести до конца, то на основе принципа математической индукции можно утверждать, что утверждение верно для любого натурального числа n. infourok.ru

Например, чтобы доказать, что число 5 кратно 19, где n — натуральное число, нужно: moluch.ru

1. Проверить, что формула верна при n = 1: число 19 кратно 19. moluch.ru
2. Пусть эта формула верна для n = k, то есть число кратно 19. moluch.ru
3. Доказать, что формула верна и для n = k + 1, то есть 19 кратно 19. moluch.ru Действительно, первое слагаемое делится на 19 в силу предположения, второе слагаемое тоже делится на 19, потому что содержит множитель 19. moluch.ru
4. Оба условия принципа математической индукции выполнены, следовательно, предложение истинно при всех значениях n. moluch.ru