Как решать математические задачи с использованием метода сравнений по модулю?

Метод сравнений по модулю позволяет ответить на вопрос, дают ли два целых числа при делении на определённое число один и тот же остаток. ru.ruwiki.ru ru.wikipedia.org

Чтобы решать задачи с использованием этого метода, можно применять следующие свойства:

• Заменять отдельные слагаемые и множители в выражении на числа, сравнимые по тому же модулю. intuit.ru Например, все числа, кратные модулю, можно заменять нулями. intuit.ru Однако показатели степеней таким образом заменять нельзя. intuit.ru
• Складывать, вычитать и перемножать сравнения по одному и тому же модулю. intuit.ru
• Делить обе части сравнения на общий делитель, если он взаимно прост с модулем. intuit.ru При этом делить на число, не взаимно простое с модулем, нельзя, так как после деления могут получиться числа, несравнимые по данному модулю. intuit.ru

Пример решения задачи: 1.shkolkovo.online

Нужно доказать, что число 1000 · 1001 · 1002 · 1003 − 24 делится на 999. 1.shkolkovo.online

Решение: 1.shkolkovo.online

1. Записываем сравнения по модулю для каждого из чисел: 1000 ≡ 1 (mod 999), 1001 ≡ 2 (mod 999), 1002 ≡ 3 (mod 999), 1003 ≡ 4 (mod 999). 1.shkolkovo.online
2. Перемножаем эти сравнения: 1000 · 1001 · 1002 · 1003 ≡ 1 · 2 · 3 · 4 = 24 (mod 999). 1.shkolkovo.online
3. Делаем вывод: число 1000 · 1001 · 1002 · 1003 − 24 делится на 999. 1.shkolkovo.online

Сравнение по модулю широко применяется в математике, информатике и криптографии. ru.ruwiki.ru