Неравенство, в котором переменная содержится под знаком корня, называется иррациональным. 14

Один из алгоритмов решения иррациональных неравенств: 1

1. Найти область допустимых значений (ОДЗ) неравенства — это множество значений переменной, при которых обе части неравенства имеют смысл. 4
2. Перенести все слагаемые в левую часть неравенства. 1
3. Разложить её на множители. 1
4. Приравнять каждый множитель к нулю и найти его корни. 1
5. Отметить полученные значения на числовой прямой. 1
6. Оставить на числовой прямой только множества, входящие в ОДЗ. 1
7. Расставить на оставшихся интервалах знаки левой части неравенства и сформулировать ответ. 1

Некоторые особенности решения иррациональных неравенств в зависимости от их вида:

• √f(x) ≥ 0. 2 Любой квадратный корень — величина неотрицательная, поэтому в подобных неравенствах достаточно проверить, что корень существует, то есть подкоренное выражение неотрицательно. 2
• √f(x) ≤ 0. 2 Так как квадратный корень принимает неотрицательные значения, то единственный случай, когда корень может быть неположительным, это когда он равен нулю. 2 Для решения неравенства необходимо приравнять к нулю подкоренное выражение. 2
• √f(x) > а. 2 Чтобы решить такое неравенство, необходимо рассмотреть два случая: когда число, с которым сравнивается корень, положительно и когда отрицательно. 2
• √f(x) < а. 2 Квадратный корень меньше числа только в том случае, если число положительное, иначе решений нет. 2 Чтобы решить неравенство, необходимо возвести обе части в квадрат (знак неравенства при этом сохранится), а также проверить, что подкоренное выражение неотрицательно. 2

При решении неравенств, содержащих корни, подкоренная функция должна быть неотрицательной в любом случае — независимо от знака исходного неравенства. 3