Как развивается современная теория логарифмов?

Возможно, имелось в виду развитие теории логарифмов в целом. Некоторые этапы, которые повлияли на формирование современной теории:

• Узаконение логарифмирования как операции, обратной возведению в степень. ru.wikipedia.org Впервые близкое к современному понимание появилось у Валлиса (1685) и Иоганна Бернулли (1694), а окончательно было узаконено Эйлером. ru.wikipedia.org
• Расширение логарифма на комплексную область. znanierussia.ru На рубеже XVII–XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли пытались распространить логарифмы на комплексные числа, но создать целостную концепцию не получилось. znanierussia.ru
• Разработка теории многозначности логарифмической функции. znanierussia.ru ru.wikipedia.org В XIX веке, с развитием комплексного анализа, исследование комплексного логарифма стимулировало новые открытия. ru.wikipedia.org В 1811 году Гаусс разработал полную теорию многозначности логарифмической функции. znanierussia.ru ru.wikipedia.org
• Появление общепринятого обозначения логарифма. ru.wikipedia.org До конца XIX века общепринятого обозначения не было, основание указывалось то левее и выше символа log, то над ним. ru.wikipedia.org В конечном счёте математики пришли к выводу, что наиболее удобное место для основания — ниже строки, после символа log. ru.wikipedia.org

Также стоит отметить, что логарифмы и логарифмические шкалы используются во многих областях научных знаний, а не только в математике, например, в физике, экономике, астрономии, биологии, химии, музыке. znanierussia.ru