Как рассчитать производную сложной функции на реальных примерах?

Чтобы рассчитать производную сложной функции, можно использовать правило дифференцирования «по цепи». www.matburo.ru Алгоритм действий: www.matburo.ru

1. Выделить внутреннюю и внешнюю функции. vc.ru Например, в функции y = (3x^2 + 2)^4 внутренняя функция — g(x) = 3x^2 + 2, внешняя — f(u) = u^4, где u = g(x). vc.ru
2. Найти производную внутренней функции. vc.ru В данном примере g'(x) = 6x. vc.ru
3. Найти производную внешней функции. vc.ru f'(u) = 4u^3, подставить g(x): f'(g(x)) = 4(3x^2 + 2)^3. vc.ru
4. Составить полное выражение. vc.ru Для этого нужно умножить производные: y' = f'(g(x)) * g'(x). vc.ru

Пример: найти производную функции y = sin(x^2). www.matburo.ru Здесь внешняя функция — sin u, внутренняя — u = x^2. www.matburo.ru Нужно найти производную от синуса: (sin u)' = cos u, где u = x^2, значит f'(g(x)) = cos(x^2). www.matburo.ru Затем вычислить производную от внутренней части: (x^2)' = 2x. www.matburo.ru Итого: y' = cos(x^2) |* 2x = 2x |* cos(x^2). www.matburo.ru

Для решения задач по вычислению производных сложных функций можно использовать таблицы производных для элементарных функций. www.matburo.ru