Как рассчитать производную сложной функции на реальных примерах?

Чтобы рассчитать производную сложной функции, можно использовать правило дифференцирования «по цепи». 1 Алгоритм действий: 1

1. Выделить внутреннюю и внешнюю функции. 2 Например, в функции y = (3x^2 + 2)^4 внутренняя функция — g(x) = 3x^2 + 2, внешняя — f(u) = u^4, где u = g(x). 2
2. Найти производную внутренней функции. 2 В данном примере g'(x) = 6x. 2
3. Найти производную внешней функции. 2 f'(u) = 4u^3, подставить g(x): f'(g(x)) = 4(3x^2 + 2)^3. 2
4. Составить полное выражение. 2 Для этого нужно умножить производные: y' = f'(g(x)) * g'(x). 2

Пример: найти производную функции y = sin(x^2). 1 Здесь внешняя функция — sin u, внутренняя — u = x^2. 1 Нужно найти производную от синуса: (sin u)' = cos u, где u = x^2, значит f'(g(x)) = cos(x^2). 1 Затем вычислить производную от внутренней части: (x^2)' = 2x. 1 Итого: y' = cos(x^2) * 2x = 2x * cos(x^2). 1

Для решения задач по вычислению производных сложных функций можно использовать таблицы производных для элементарных функций. 1