Как рассчитать объем тела вращения на практике?

Для расчёта объёма тела вращения на практике можно использовать формулу, основанную на принципе Кавальери. 1 Она позволяет вычислить объём тела путём интегрирования функции, описывающей форму тела. 1

Формула имеет вид: V = π * ∫ a b (f(x))² dx, где: 1

• V — объём тела; 1
• f(x) — функция, задающая форму тела; 1
• a и b — пределы интегрирования, соответствующие границам области, которую описывает тело вращения. 1

Некоторые примеры тел вращения и формулы для расчёта их объёма:

• Цилиндр. 1 Тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. 1 Объём цилиндра вычисляется по формуле: V = π r² h, где r — радиус основания, h — высота цилиндра. 1
• Конус. 1 Тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. 1 Объём конуса вычисляется по формуле: V = ⅓ π r² * h, где r — радиус основания, h — высота конуса. 1
• Шар. 1 Тело, образованное вращением полукруга вокруг диаметра. 1 Объём шара вычисляется по формуле: V = (4/3) π R³, где R — радиус шара. 1
• Тор. 1 Тело, образованное вращением окружности вокруг прямой, не пересекающей эту окружность. 1 Объём тора вычисляется по формуле: V = 2 π² R² * r, где R — радиус окружности, r — расстояние от центра окружности до оси вращения. 1
• Параболоид вращения. 1 Тело, образованное вращением параболы вокруг своей оси симметрии. 1 Объём параболоида вращения вычисляется по более сложной формуле, которая зависит от конкретной формы параболы. 1

Для ускорения расчётов можно использовать калькуляторы интегралов. 3