Как рассчитать объем сложной фигуры через интегрирование?

Чтобы рассчитать объём сложной фигуры с помощью интегрирования, нужно выполнить следующие шаги: 100urokov.ru

1. Выбрать в пространстве удобную ось координат. 100urokov.ru Пусть одна из плоскостей пересекает эту ось в точке а, а другая — в точке b. 100urokov.ru На координатной прямой появится отрезок [a; b]. 100urokov.ru
2. Разобьём этот отрезок на n равных отрезков, длина каждого из них будет равна величине ∆х. 100urokov.ru Обозначим концы этих отрезков как х0, х1, х2,…, хn, причём точка х0 будет совпадать с точкой а, а точка хn — с точкой b. 100urokov.ru
3. Проведём через полученные точки сечения, параллельные двум плоскостям, ограничивающим фигуру. 100urokov.ru Площадь сечения, проходящую через точку с номером i, обозначим как S(xi). 100urokov.ru Эти плоскости рассекут тело на n других тел. 100urokov.ru
4. Обозначим объём тела, заключённого между сечениями с площадями S(xi) и S(xi+1), как V(xi). 100urokov.ru Можно приближённо считать, что эти тела имеют форму прямых цилиндров. 100urokov.ru

Каждый из этих объёмов равен произведению площади основания на высоту. videouroki.net Тогда объём всего тела равен сумме этих объёмов. videouroki.net Чем больше n, тем точнее приближённое значение объёма всего тела. videouroki.net

Для некоторых поверхностей, например, сферических, удобнее записывать и решать двойные интегралы в полярной системе координат. wika.tutoronline.ru