Как работает преобразование Фурье при анализе периодических функций?

Преобразование Фурье при анализе периодических функций работает путём разложения функции на синусоиды разных частот. 3 Синусоиды в этом случае являются гармониками основной частоты анализируемой функции. 3

Процесс преобразования включает две процедуры: 4

1. Смещение частот всех комплексных экспонент, входящих в состав входного сигнала. 4 Это нужно, чтобы комплексная экспонента с определённой частотой превратилась в постоянную составляющую и стала неуязвима к обнулению через усреднение. 4
2. Усреднение сигнала со смещёнными частотами на интервале времени, который кратен периодам всех комплексных экспонент, входящих в состав сигнала. 4 Цель процедуры — обнулить все экспоненты, кроме той, что превратилась в постоянную составляющую. 4

Преобразование Фурье периодической функции представляет собой сумму точечных нагрузок в целых точках и равно нулю вне их. 1

Спектр периодической функции с периодом T существует только в отдельных точках, то есть является дискретным с шагом 1/T. 5 Огибающая дискретного спектра — фурье-образ одного периода функции. 5