Как работает предельный признак сравнения в анализе рядов?

Предельный признак сравнения — инструмент в математическом анализе, который помогает определить сходимость или расходимость бесконечных рядов. tmoptom.ru

Суть метода: исследуемый ряд сравнивают с другим рядом, сходимость или расходимость которого известна. dzen.ru Затем вычисляют предел отношения членов этих рядов при n, стремящемся к бесконечности. tmoptom.ru

В зависимости от значения предела делают следующие выводы: tmoptom.ru

• Если предел равен конечному числу, не равному нулю (0 < L < ∞). tmoptom.ru Тогда оба ряда ведут себя одинаково: либо оба сходятся, либо оба расходятся. tmoptom.ru
• Если предел равен нулю. tmoptom.ru Если известный ряд сходится, то и исследуемый тоже сходится. tmoptom.ru Если известный ряд расходится, то про исследуемый ряд ничего сказать нельзя. tmoptom.ru
• Если предел равен бесконечности. tmoptom.ru Если известный ряд расходится, то и исследуемый тоже расходится. tmoptom.ru Если известный ряд сходится, то про исследуемый ряд ничего сказать нельзя. tmoptom.ru

Идея метода: если предел отношения членов рядов существует и не равен нулю, то при достаточно больших n члены исследуемого ряда примерно пропорциональны членам известного ряда. tmoptom.ru Следовательно, если один из рядов сходится, то и другой, примерно равный ему, тоже должен сходиться (и наоборот). tmoptom.ru

Предельный признак сравнения работает только для рядов с положительными членами. tmoptom.ru