Метод интегрирования по частям позволяет вычислять интегралы, которые не поддаются простым методам, таким как использование замены переменной, табличных интегралов и свойства линейности. 5 Чаще всего этот метод применяют, когда в подынтегральном выражении есть показательные, логарифмические, прямые и обратные тригонометрические формулы и их сочетания. 2

Метод работает, если одну часть подынтегрального выражения легко продифференцировать (функцию u), а другую — проинтегрировать (функцию dv). 5

Алгоритм вычисления неопределённых интегралов по частям: 3

1. Внимательно осмотреть подынтегральную функцию и определить, к какой группе относится данный интеграл. 3
2. Разбить подынтегральное выражение на две части (u и dv), согласно правилу для данной группы. 3
3. Дифференцировать функцию u и посчитать дифференциал du. 3
4. Интегрировать дифференциал dv и найти функцию v. 3
5. Подставить исходные данные (u, du, v, dv) в формулу интегрирования по частям. 3
6. Сработать по формуле, взять новый, более простой, интеграл ∫vdu, подставить результат, упростить (если нужно) и записать окончательный ответ. 3

Если под интегралом стоит произведение многочлена и тригонометрической функции, то за функцию u всегда берут многочлен. 3 Выражение с тригонометрической функцией при интегрировании обычно меняется на другую тригонометрическую функцию, не усложняя интеграл. 5