Как работает метод Gauss для решения систем линейных уравнений?

Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). ru.wikipedia.org Назван в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса. ru.wikipedia.org

Суть метода заключается в последовательном исключении переменных с помощью элементарных преобразований. ru.wikipedia.org Система уравнений приводится к равносильной системе верхнего правого или нижнего левого треугольного вида, из которой, начиная с последних или с первых (по номеру), находятся все переменные системы. ru.wikipedia.org

Алгоритм метода Гаусса: berdov.com

1. Формирование дополнительной матрицы. www.work5.ru Она состоит из матрицы коэффициентов и вектора правых частей. www.work5.ru Это позволяет обрабатывать систему линейных уравнений как одну матрицу, что упрощает применение элементарных преобразований строк. www.work5.ru
2. Элементарное преобразование строк. www.work5.ru Включает в себя перестановку строк, умножение строки на скаляр и прибавление одной строки к другой. www.work5.ru
3. Приведение к верхнетреугольному виду. www.work5.ru Достигается путём последовательного обнуления элементов ниже главной диагонали с помощью элементарных преобразований строк. www.work5.ru
4. Обратный ход. www.work5.ru Начинается с последнего уравнения и постепенно выражает каждую неизвестную через уже найденные. www.work5.ru Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будут найдены все неизвестные. www.work5.ru
5. Проверка совместности и однозначности решения. www.work5.ru Система считается совместной, если матрица коэффициентов невырожденная (её определитель не равен нулю), и несовместной в противном случае. www.work5.ru Если система совместна, и ранг матрицы коэффициентов равен количеству переменных, то она имеет единственное решение. www.work5.ru