Как работает метод Gauss для решения систем линейных уравнений?

Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). 3 Назван в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса. 3

Суть метода заключается в последовательном исключении переменных с помощью элементарных преобразований. 3 Система уравнений приводится к равносильной системе верхнего правого или нижнего левого треугольного вида, из которой, начиная с последних или с первых (по номеру), находятся все переменные системы. 3

Алгоритм метода Гаусса: 1

1. Формирование дополнительной матрицы. 4 Она состоит из матрицы коэффициентов и вектора правых частей. 4 Это позволяет обрабатывать систему линейных уравнений как одну матрицу, что упрощает применение элементарных преобразований строк. 4
2. Элементарное преобразование строк. 4 Включает в себя перестановку строк, умножение строки на скаляр и прибавление одной строки к другой. 4
3. Приведение к верхнетреугольному виду. 4 Достигается путём последовательного обнуления элементов ниже главной диагонали с помощью элементарных преобразований строк. 4
4. Обратный ход. 4 Начинается с последнего уравнения и постепенно выражает каждую неизвестную через уже найденные. 4 Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будут найдены все неизвестные. 4
5. Проверка совместности и однозначности решения. 4 Система считается совместной, если матрица коэффициентов невырожденная (её определитель не равен нулю), и несовместной в противном случае. 4 Если система совместна, и ранг матрицы коэффициентов равен количеству переменных, то она имеет единственное решение. 4