Как работает матрица Лапласа в анализе связности графов?

Матрица Лапласа помогает анализировать связность графа и его свойства. quizlet.com

Структура графа сети представляется симметричной матрицей Лапласа. mech.math.msu.su Диагональные элементы матрицы определяются степенью соответствующей вершины (количеством связей, исходящих из данных вершин). mech.math.msu.su Недиагональные элементы определяются как −1, если существует связь между парой вершин, и как 0 в противном случае. mech.math.msu.su

Некоторые особенности работы матрицы Лапласа в анализе связности графов:

• Сумма элементов любой строки или столбца такой матрицы равна нулю. mech.math.msu.su
• Собственные значения матрицы Лапласа являются неотрицательными вещественными числами. mech.math.msu.su
• Кратность нулевого собственного значения равна количеству компонент связности. mech.math.msu.su
• Наименьшее положительное собственное значение определяет алгебраическую связность рассматриваемого графа. mech.math.msu.su
• Собственный вектор, соответствующий этому собственному значению, содержит всю информацию об интересующей структуре графа. mech.math.msu.su
• По значениям (величинам) компонент собственного вектора можно сгруппировать вершины графа по отдельным группам, которые называют сообществами. mech.math.msu.su