Как работает алгоритм разложения бинома Ньютона?

Алгоритм разложения бинома Ньютона основан на использовании биномиальных коэффициентов, которые показывают, на какие числа нужно умножить каждое слагаемое в многочлене. skillbox.ru

Процесс разложения включает несколько шагов: skillbox.ru

1. Подстановка значений. skillbox.ru Два числа (a и b) складываются, а затем возводятся в степень n. skillbox.ru Числа в скобках могут быть любыми, а степень обязательно должна быть натуральным числом, то есть целым, положительным, не равным нулю. skillbox.ru
2. Раскрытие знака суммы и выписывание всех слагаемых. skillbox.ru При этом пока не считаются биномиальные коэффициенты. skillbox.ru
3. Упрощение выражения. skillbox.ru По свойствам степеней, если число возводится в нулевую степень, то оно равно единице. skillbox.ru Поэтому b0 и a0 можно заменить на единицы. skillbox.ru
4. Вычисление коэффициентов. skillbox.ru Значения биномиальных коэффициентов повторяются: первый равен последнему, а второй — четвёртому. skillbox.ru Поэтому можно считать не все коэффициенты, а только половину (и ещё один «посередине», если степень многочлена чётная). skillbox.ru
5. Подстановка коэффициентов в сумму и счёт степеней слагаемых. skillbox.ru В результате получается нужное выражение. skillbox.ru

Для удобства вычисления биномиальных коэффициентов используют треугольник Паскаля — специальный треугольник чисел, в котором каждое число равно сумме двух чисел, расположенных над ним. thecode.media skillbox.ru На вершине и по рёбрам треугольника расположены единицы. skillbox.ru