Как работает алгоритм быстрого преобразования Фурье для вычисления тригонометрических функций?

Алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ) для вычисления тригонометрических функций предполагает разделение задачи на более мелкие подзадачи, применение к ним БПФ и последующее комбинирование результатов для получения итогового полного преобразования. 1

Процесс БПФ включает несколько этапов: 1

1. Дискретизация и оцифровка. 1 Непрерывную функцию переводят в дискретный формат, измеряя её значения в определённые моменты времени. 1 Затем данные преобразуют в цифровой формат, кодируя их значения в числовую последовательность. 1
2. Разделение на чётные и нечётные компоненты. 1 Последовательность данных разделяют на чётные и нечётные элементы. 1 Это создаёт две подпоследовательности: элементы на чётных позициях образуют одну, а на нечётных позициях — другую. 1
3. Выполнение рекурсии. 1 Для каждой из полученных подпоследовательностей выполняют рекурсивное вычисление. 1 Этот этап продолжается, пока длина последовательности не станет достаточно маленькой для прямого вычисления без дальнейшего разделения. 1
4. Комбинирование результатов. 1 После рекурсивных расчётов для чётных и нечётных подпоследовательностей выполняют их комбинирование для получения итогового результата всей исходной последовательности. 1
5. Обратное перемешивание результатов. 1 Если нужно выполнить обратное преобразование Фурье, перейти от спектрограммы к дискретному состоянию, результаты объединяют, а затем выполняют их обратное перемешивание для получения исходной последовательности. 1

БПФ предполагает многократное вычисление синусов и косинусов. 3 Такая методика позволяет значительно сократить количество необходимых операций, существенно уменьшая длительность расчётов. 1