Чтобы проверить, является ли множество функций линейным пространством, нужно доказать, что выполняются соответствующие аксиомы. 1

Некоторые условия, которые должны быть выполнены:

• Определены операции сложения и умножения на число. 2 Для любых элементов x и y из множества V должен существовать элемент z ∈ V, называемый суммой элементов x и y и обозначаемый z = x + y. 2 Также для любого элемента x из V и любого вещественного числа λ должен существовать элемент z ∈ V, называемый произведением элемента x на вещественное число и обозначаемый z = λx. 2
• Заданные линейные операции подчиняются аксиомам линейного пространства. 2 Например, коммутативности операции сложения (x + y = y + x), ассоциативности (x + y) + z = x + (y + z), существованию элемента 0 ∈ V такого, что x + 0 = x для любого элемента x ∈ V (элемент 0 называют нулевым элементом пространства V) и другим. 2

Например, для множества C0[a;b] всех непрерывных на отрезке [a,b] функций, для которых x(a) = x(b) = 0, можно проверить, что все условия из определения линейного пространства выполняются. 13