Гипотеза Пуанкаре простыми словами утверждает, что любой трёхмерный объект, например, стакан, можно преобразовать в шар путём одной только деформации, то есть его не нужно ни разрезать, ни склеивать. 2 Иными словами, Пуанкаре предположил, что пространство не трёхмерно, а содержит значительно большее число измерений, а Перельман спустя 100 лет математически это доказал. 2

Доказательство гипотезы Пуанкаре можно объяснить так: помещаем тело внутрь воздушного шарика, откачиваем воздух — шарик принимает форму поверхности данного тела, при этом оставаясь шариком, то есть сферой, для которой по-прежнему применимы те же законы, что и для сферы до её деформации. 2

Также можно представить себе, что поверхности сделаны из идеальной резины, так что все фигуры могут сжиматься и растягиваться как угодно. 4 Нельзя делать только две вещи: разрывать и склеивать. 4