Разложение функции в ряд Фурье происходит путём представления сложной функции суммой более простых, хорошо известных функций. 1 В общем случае ряд Фурье состоит из синусов и косинусов. 8

Для разложения рекомендуется придерживаться следующей схемы действий: 2

1. Построить график заданной функции и найти её периодическое продолжение на всю ось Ox. 2
2. Установить период функции. 2
3. Выяснить, является ли функция чётной, нечётной или общего вида. 2
4. Проверить, удовлетворяет ли функция условиям Дирихле. 2
5. Вычислить коэффициенты ряда Фурье. 2
6. Записать ряд Фурье. 2
7. Записать сумму полученного ряда. 2

Разложение в ряд Фурье нужно для того, чтобы облегчить анализ явлений, которые описываются сложными функциями. 1 Например, не всегда возможно аналитически (то есть по формуле) посчитать производную, а в случае с набором синусов и косинусов такой проблемы не возникнет. 1

Некоторые области, где нужно разложение в ряд Фурье:

• Обработка сигналов. 4 Например, музыкальный сигнал — это сложная функция, которая меняется во времени. 4 Ряд Фурье позволяет разложить этот сигнал на отдельные частоты, что позволяет понять, какие ноты звучат в песне. 4
• Обработка изображений. 4 Изображения также можно представить как функции, которые меняются в пространстве. 4 Ряд Фурье позволяет разложить изображение на отдельные частоты, что позволяет улучшить качество изображения, убрать шумы и сжать изображение. 4
• Решение дифференциальных уравнений. 4 Ряд Фурье позволяет упростить решение многих дифференциальных уравнений, которые описывают физические процессы, например, движение волн, распространение тепла, колебания струны. 4