Как происходит процесс доказательства леммы Кантора?

Доказательство леммы Кантора о вложенных отрезках основано на применении теоремы о существовании верхней грани, которая, в свою очередь, базируется на аксиоме полноты множества действительных чисел. calculus.mazurok.com

Процесс доказательства включает несколько шагов: calculus.mazurok.com

1. Определение последовательности отрезков. calculus.mazurok.com Пусть есть последовательность отрезков In (n = 1, 2, …), где I{n+1} содержится в I_n (n = 1, 2, …). calculus.mazurok.com
2. Проверка неравенства. calculus.mazurok.com Нужно показать, что для любых m и n справедливо неравенство an ≤ bm. calculus.mazurok.com Если an > bm, то отрезки [an, bn] и [am, bm] не имеют общих точек, а это невозможно, так как по условию леммы отрезок с большим номером содержится в отрезке с меньшим номером. calculus.mazurok.com
3. Обозначение множества всех левых концов отрезков. calculus.mazurok.com Это множество E = {a1, a2, …}. calculus.mazurok.com
4. Нахождение верхней грани. calculus.mazurok.com Обозначается c = sup{E}. calculus.mazurok.com Из определения верхней грани следует, что для всех n = 1, 2, … справедливо неравенство a_n ≤ c. calculus.mazurok.com
5. Доказательство принадлежности точки c всем отрезкам. calculus.mazurok.com Поскольку каждое bn является верхней границей множества, а c — наименьшая из всех верхних границ множества, то справедливо неравенство an ≤ c ≤ bn, а это означает, что c ∈ In. calculus.mazurok.com
6. Доказательство единственности точки c. calculus.mazurok.com Предполагается, что длины отрезков стремятся к нулю, и нужно показать, что полученная точка c единственна. calculus.mazurok.com Если предположить, что существуют две различные точки c' < c'', принадлежащие всем отрезкам, то это противоречит тому, что длины отрезков стремятся к нулю. calculus.mazurok.com

Таким образом, доказательство леммы Кантора приводит к выводу, что для последовательности отрезков, где каждый следующий вложен в предыдущий, существует точка, принадлежащая всем отрезкам. calculus.mazurok.com studfile.net