Как привести квадратичную форму к каноническому виду?

Чтобы привести квадратичную форму к каноническому виду, можно использовать метод Лагранжа. www.mathprofi.ru kadm.kmath.ru Его идея состоит в выделении полных квадратов с дальнейшей заменой переменных. www.mathprofi.ru

Алгоритм: www.mathprofi.ru

1. Выбрать переменную, которая находится в квадрате. www.mathprofi.ru
2. Собрать вместе все слагаемые, где есть эта переменная. www.mathprofi.ru
3. Вынести «двойку» за скобки. www.mathprofi.ru
4. Прибавить в скобках и, чтобы ничего не изменилось, за скобками провести вычитание. www.mathprofi.ru
5. Выделить полный квадрат. www.mathprofi.ru
6. Выполнить проверку обратными действиями — раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. www.mathprofi.ru
7. Провести замены. www.mathprofi.ru

Ещё один способ — ортогональное преобразование. fn.bmstu.ru Алгоритм: fn.bmstu.ru

1. Выписать матрицу квадратичной формы. fn.bmstu.ru
2. Найти собственные значения матрицы, то есть корни её характеристического многочлена. fn.bmstu.ru
3. Выписать канонический вид этой квадратичной формы (каждое собственное значение повторяется столько раз, какова его кратность). fn.bmstu.ru
4. Найти ортонормированный базис из собственных векторов, в котором данная квадратичная форма имеет канонический вид. fn.bmstu.ru
5. Записать ортогональную матрицу перехода, её столбцами являются координаты новых базисных (собственных) векторов. fn.bmstu.ru

Выбор метода зависит от конкретных условий задачи.