Чтобы привести квадратичную форму к каноническому виду, можно использовать метод Лагранжа. 12 Его идея состоит в выделении полных квадратов с дальнейшей заменой переменных. 1

Алгоритм: 1

1. Выбрать переменную, которая находится в квадрате. 1
2. Собрать вместе все слагаемые, где есть эта переменная. 1
3. Вынести «двойку» за скобки. 1
4. Прибавить в скобках и, чтобы ничего не изменилось, за скобками провести вычитание. 1
5. Выделить полный квадрат. 1
6. Выполнить проверку обратными действиями — раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. 1
7. Провести замены. 1

Ещё один способ — ортогональное преобразование. 3Алгоритм: 3

1. Выписать матрицу квадратичной формы. 3
2. Найти собственные значения матрицы, то есть корни её характеристического многочлена. 3
3. Выписать канонический вид этой квадратичной формы (каждое собственное значение повторяется столько раз, какова его кратность). 3
4. Найти ортонормированный базис из собственных векторов, в котором данная квадратичная форма имеет канонический вид. 3
5. Записать ортогональную матрицу перехода, её столбцами являются координаты новых базисных (собственных) векторов. 3

Выбор метода зависит от конкретных условий задачи.