Как применять теорему синусов в задачах на четырёхугольники?

Теорему синусов можно применять в задачах на четырёхугольники, используя свойство пропорциональности сторон и углов. lc.rt.ru

Теорема синусов гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. lc.rt.ru

Пример задачи, в которой можно применить теорему синусов: problems.ru

> Длины трёх сторон четырёхугольника, вписанного в окружность радиуса 2, одинаковы и равны 2. problems.ru Нужно найти четвёртую сторону. problems.ru

Решение: problems.ru

1. Пусть четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 2, причём AB = BC = CD = 2. problems.ru
2. Поскольку равные хорды стягивают равные дуги, а вписанные углы, опирающиеся на равные хорды, равны, то ACB = CAD. problems.ru
3. Поэтому BC < AD, следовательно, ABCD — равнобокая трапеция. problems.ru
4. Из теоремы синусов следует, что sin = sin CAD. problems.ru
5. Поскольку BAC = CAD, то BAD = 2. problems.ru
6. Пусть P — проекция точки B на большее основание AD трапеции ABCD. problems.ru
7. Из прямоугольного треугольника ABP находим, что AP = AB cos 2 = 2(1 - 2 sin2) = 2. problems.ru
8. По свойству равнобокой трапеции AP =. problems.ru
9. Отсюда находим, что AD = 2AP + BC = 2 + 2 = 3 + 2 = 5. problems.ru

Ответ: 5. problems.ru